题目

题型：不详难度：来源：

设平面向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，

x

=

a

+(t2-k)

b

，

y

=-s

a

+t

b

，其中，k，t，s∈R．
（1）若

x

⊥

y

，求函数关系式s=f（t）；
（2）在（1）的条件下，若k=3，t∈[-2，3]，求s的最大值；
（3）实数k在什么范围内取值时？对该范围内的每一个确定的k值，存在唯一的实数t，使

x

•

y

=2-s．

答案

（1）∵设平面向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，
又∵

x

=

a

+(t2-k)

b

，

y

=-s

a

+t

b

，
当

x

⊥

y

时，

x

•

y

=0
即[

a

+(t2-k)

b

]•[-s

a

+t

b

]=0
即-S+t³-kt=0
故s=t³-kt…（4分）
（2）∵k=3，
∴s=t³-3t，s"=3t²-3，
由s"=0⇒t₁=-1，t₂=1，
f（t）在（-∞，-1）上递增，（-1，1）上递减，（1，+∞）递增，
又∵f（-1）=2，f（3）=18，
∴s的最大值为18                                     …（10分）
（3）∵

x

•

y

=2-s，
∴-s+t³-kt=2-s，t³-2=kt，…（12分）
当t=0时，等式不成立；
当t≠0时，k=t2-

2

t

，k′=2t+

2

t2

=

2(t3+1)

t2

=0⇒t=-1
k（t）在（-∞，-1）上递减，（-1，0）上递增，（0，+∞）递增，
结合图象可知k＜3时符合要求．…（16分）