题目

题型：南充一模难度：来源：

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的两个焦点，P为椭圆上一点且

PF1

•

PF2

=c2，则此椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．[ 3 3 ，1)

B．[ 1 3 ， 1 2 ]

C．[ 3 3 ， 2 2 ]

D．(0， 2 2 ]

答案

设P（m，n ），

PF1

•

PF2

=c2=（-c-m，-n）•（c-m，-n）=m²-c²+n²，
∴m²+n²=2c²，n²=2c²-m²  ①．
把P（m，n ）代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1得  b²m²+a²n²=a²b²  ②，
把①代入②得 m²=

a2b2-2a2c2

b2-a2

≥0，∴a²b²≤2a²c²，
 b²≤2c²，a²-c²≤2c²，∴

c

a

≥

3

3

．
又  m²≤a²，∴

a2b2-2a2c2

b2-a2

≤a²，∴

a2(a2-2c2)

b2-a2

≤0，
a²-2c²≥0，∴

c

a

≤

2

2

．
综上，

3

3

≤

c

a

≤

2

2

，
故选 C．