题目

题型：高考真题难度：来源：

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，
(Ⅰ)设l的斜率为1，求与夹角的大小；
(Ⅱ)设，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围。

答案

解：（Ⅰ）C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，
所以l的方程为y=x-1，
将y=x-1代入方程y²=4x，并整理得x²-6x+1=0，
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则有x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
=(x₁，y₁)·(x₂，y₂)=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-(x₁+x₂)+1=-3，
，
，
所以与夹角的大小为π-arccos。
（Ⅱ）由题设知得：(x₂-1，y₂)=λ(1-x₁，-y₁)，
即，
由(2)得y₂²=λ²y₁²，
∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
∴x₂=λ²x₁，……………(3)
联立(1)(3)解得x₂=λ，依题意有λ＞0，
∴B(λ，2)或B(λ，-2)，
又F(1，0)，
得直线l的方程为(λ-1)y=2(x-1)或(λ-1)y=-2(x-1)，
当λ∈[4，9]时，l在y轴上的截距为或-，
由，可知在[4，9]上是递减的，
∴，
直线l在y轴上截距的变化范围是。