题目

题型：不详难度：来源：

若

a

、

b

是两个不共线的非零向量（t∈R）．
（1）若

a

、

b

起点相同，t为何值时，若

a

、t

b

、

1

3

（

a

+

b

）三向量的终点在一直线上？
（2）若|

a

|=|

b

|且

a

与

b

是夹角为60°，那么t为何值时，|

a

-t

b

|有最小？

答案

（1）设

a

-t

b

=m[

a

-

1

3

（

a

+

b

）]（m∈R），
化简得（

2m

3

-1）

a

=（

m

3

-t）

b

．
∵

a

与

b

不共线，
∴

2m 3 -1=0 m 3 -t=0

⇒

m= 3 2 t= 1 2 .

∴t=

1

2

时，

a

、t

b

、

1

3

（

a

+

b

）的终点在一直线上．
（2）|

a

-t

b

|²=（

a

-t

b

）²=|

a

|²+t²|

b

|²-2t|

a

||

b

|cos60°=（1+t²-t）|

a

|²，
∴t=

1

2

时，|

a

-t

b

|有最小值

3

2

|

b

|．