题目

题型：不详难度：来源：

已知两个不共线的向量

a

，

b

，它们的夹角为θ，且|

a

|=3，|

b

|=1，x为正实数．
（1）若

a

+2

b

与

a

-4

b

垂直，求tanθ；
（2）若θ=

π

6

，求|x

a

-

b

|的最小值及对应的x的值，并判断此时向量

a

与x

a

-

b

是否垂直？

答案

（1）∵

a

+2

b

与

a

-4

b

垂直，∴(

a

+2

b

)•(

a

-4

b

)=0，
∴

a

2-2

a

•

b

-8

b

2=0，
∴3²-2×3×1×cosθ-8×1²=0，∴cosθ=

1

6

．
又θ∈（0，π），
∴sinθ=

1-cos2θ

=

35

6

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

35

．
（2）|x

a

-

b

|=

(x a - b )2

=

x2 a 2-2x a • b + b 2

=

9(x- 3 6 )2+ 1 4

，
故当x=

3

6

时，|x

a

-

b

|取得最小值为

1

2

，
此时

a

•(x

a

-

b

)=x

a

2-

a

•

b

=

3

6

×9-3×1×cos

π

6

=0，
故向量

a

与x

a

-

b

垂直．