题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，∠C=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12。若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点，
（1）求双曲线E的方程；
（2）若一过点P（m，0）（m为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且，问在x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设双曲线E的方程为，
则，
由BD=3DC，得，即c=2a，
∴，
解之得a=1，
∴，
∴双曲线E的方程为。
（2）设在x轴上存在定点G（t，0），使，
设直线的方程为x-m=ky，
，
由，得，
即，①
∵，，
∴，
即，②
把①代入②，得，③
把x-m=ky代入并整理得，
其中且△＞0，即且，
，
代入③，得，
化简得kmt=k，
当时，上式恒成立；
因此，在x轴上存在定点，使。