题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）

如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点 转动，分别交边、于点、；设，，其中，．
（1）求表达式的值，并说明理由；
（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的、的值．

答案

(Ⅰ) 3   (Ⅱ)  或

解析

（1）如图延长AG交BC与F，G为△ABC的中心

F为BC的中点，则有 
，，
　即………………………………3分
D、G、E三点共线
　　
故 ＝3 ………………………………6分
（2）△ABC是边长为1的正三角形，
，    S＝mn…………………8分
由=3，0＜m1,0<n1n=,　　即。………10分
S＝mn＝
设t=m-则m=t+（）S=mn=（t++）……………12分
　易知在为减函数，在为增函数。
t=，即，时，取得最小值，
即S取得最小值…………………14分
又，取得最大值是，
则S取得最大值，此时或…………………16分