题目

题型：不详难度：来源：

已知函数，函数（，且mp＜0），给出下列结论：
①存在实数r和s，使得对于任意实数x恒成立；
②函数的图像关于点对称；
③函数可能不存在零点（注：使关于x的方程的实数x叫做函数的零点）；
④关于x的方程的解集可能为{－1，1，4，5}．
其中正确结论的序号为         （写出所有正确结论的序号）．

答案

①③

解析

（1）函数的定义域为。
令，得，。
当时，；
当时，∵，，∴，当且仅当，即时，，故存在实数和，使得对于任意实数x恒成立，故结论①正确。
（2）设为函数图像上的任意一点，关于点的对称点为，则，
所以，
知点不在函数的图像上，故函数的图像不关于点对称，结论②不正确。
（3）令，得，当时，由（1）知，方程无解，即函数不存在零点，故结论③正确。
（4）由（2）知，函数的图像关于直线对称，则关于x的方程的解关于对称，但，结论④不正确。
综上，正确结论的序号为①③。