题目

题型：安徽难度：来源：

某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．

答案

（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以

.

A

与

.

B

相互独立，由于P（A）=P（B）=

C k-1n-1

C kn

=

k

n

，故P（

.

A

）=P（

.

B

）=1-

k

n

，
因此学生甲收到活动信息的概率是1-（1-

k

n

）²=

2kn-k2

n2

（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1
当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和m中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（

C

kn

）²，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k-m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m-k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为

C

kn

C

2k-mk

C

m-kn-k

=

C

kn

C

m-kk

C

m-kn-k

P（X=M）=

C kn C 2k-mk C m-kn-k

(C kn )2

=

C 2k-mk C m-kn-k

C kn

当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m-k+1）2≤（n-m）（2k-m）⇔m≤2k-

(k+1)2

n+2

假如k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜t成立，则当（k+1）²能被n+2整除时，
k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜2k+1-

(k+1)2

n+2

＜t，故P（X=M）在m=2k-

(k+1)2

n+2

和m=2k+1-

(k+1)2

n+2

处达到最大值；
当（k+1）²不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k-[

(k+1)2

n+2

]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），
下面证明k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜t
因为1≤k＜n，所以2k-

(k+1)2

n+2

-k=

kn-k2-1

n+2

≥

k(k+1)-k2-1

n+2

=

k-1

n+2

≥0
而2k-

(k+1)2

n+2

-n=-

(n-k+1)2

n+2

＜0，故2k-

(k+1)2

n+2

＜n，显然2k-

(k+1)2

n+2

＜2k
因此k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜t