题目

题型：上海难度：来源：

对任意一个非零复数z，定义集合Mz={w|w=z2n-1，n∈N}．
（Ⅰ）设α是方程x+

1

x

=

2

的一个根．试用列举法表示集合M_a，若在M_a中任取两个数，求其和为零的概率P；
（Ⅱ）设复数ω∈M_z，求证：M_ω⊆M_z．

答案

（Ⅰ）∵α是方程x2-

2

x+1=0的根，∴α1=

2

2

(1+i)或α2=

2

2

(1-i)．…（2分）
当α1=

2

2

(1+i)时，∵

α

21

=i， 

α

2n-11

=

( α 21 )n

α1

=

in

α1

，
∴Mα1={

i

α1

，

-1

α1

，

-i

α1

，

1

α1

}={

2

2

(1+i)，-

2

2

(1-i)，-

2

2

(1+i)，

2

2

(1-i)}．
当α2=

2

2

(1-i)时，∵

α

22

=-i，
∴Mα2={

-i

α2

，

-1

α2

，

i

α2

，

1

α2

}=Mα1={

2

2

(1+i)，-

2

2

(1-i)，-

2

2

(1+i)，

2

2

(1-i)}．
当α2=

2

2

(1-i)时，∵

α

22

=-i，∴Mα2={

-i

α2

，

-1

α2

，

i

α2

，

1

α2

}=Mα1．
因此，不论α取哪一个值，集合M_α是不变的，即Mα={

2

2

(1+i)，-

2

2

(1-i)，-

2

2

(1+i)，

2

2

(1-i)}．…（8分）
于是，在M_a中任取两个数，求其和为零的概率　P=

2

C 24

=

1

3

．…（10分）
（Ⅱ）证明：∵ω∈M_z，∴存在m∈N，使得ω=z^2m-1．…（12分）
于是对任意n∈N，ω^2n-1=z^{（2m-1）（2n-1）}，由于（2m-1）（2n-1）是正奇数，ω^2n-1∈M_z，所以M_ω⊆M_z．…（14分）