给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，称圆心在坐标原点O，半径为a2+b2的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-2，0)，F2 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

给定椭圆C：

=1(a＞b＞0)，称圆心在坐标原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-

，0)，F2(

，0)．
（1）若椭圆C上一动点M₁满足|

M1F1

|+|

M1F2

|=4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2

，求P点的坐标；
（3）已知m+n=-

cosθ

sinθ

，mn=-

sinθ

(m≠n，θ∈（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m²），（n，n²）的直线的最短距离dmin=

a2+b2-b

．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）由题意，c=

，a=2，∴b=

a2-c2

，所以椭圆C的方程为

=1．
其“伴随圆”的方程为x²+y²=6；
（2）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程为（2k²+1）x²+4tkx+2t²-4=0
∴由△=（4tk）²-8（2k²+1）（t²-2）=0得t²=4k²+2①，
由直线l截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2

，可得

|t|

k2+1

，即t²=3（k²+1）②
由①②可得t²=6．
∵t＜0，∴t=-

，∴P（0，-

）；
（3）过两点（m，m²），（n，n²）的直线的方程为

x-m

m-n

y-m2

m2-n2

，∴y=（m+n）x-mn，
∵m+n=-

cosθ

sinθ

，mn=-

sinθ

(m≠n，θ∈（0，π）），
∴y=-

cosθ

sinθ

，得xcosθ+ysinθ-3=0，
∴由于圆心（0，0）到直线xcosθ+ysinθ-3=0的距离为d=

cos2θ+sin2θ

=3．
当a²+b²≥9时，d_min=0，但

a2+b2

-b＞0，所以，等式不能成立；
当a²+b²＜9时，d_min=3-

a2+b2

，由3-

a2+b2

-b得9+6b+b²=4a²+4b²．
因为a²=b²+2，所以7b²-6b-1=0，
∴（7b+1）（b-1）=0，∴b=1，a=

．

核心考点

试题【给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，称圆心在坐标原点O，半径为a2+b2的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-2，0)，F2】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知半椭圆

=1(y≥0)和半圆x²+y²=b²（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0；如图，半椭圆

=1(y≥0)内切于矩形ABCD，且CD交y轴于点G，点P是半圆x²+y²=b²（y≤0）上异于A，B的任意一点，当点P位于点M(

，-

)时，△AGP的面积最大．
（1）求曲线C的方程；
（2）连PC、PD交AB分别于点E、F，求证：AE²+BF²为定值．

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过椭圆

+y2=1的左焦点F₁的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求

•

AF1

的范围；
（2）若

⊥

，求直线l的方程．

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已知两定点E(-

，0)，F(

，0)，动点P满足

•

=0，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足

-1)

，点M的轨迹为C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若线段AB是曲线C的一条动弦，且|AB|=2，求坐标原点O到动弦AB距离的最大值．

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已知两点A（-2，0），B（2，0），直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为-

．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆（x-1）²+y²=r²（0＜r＜

）相切于点E、F，又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R．求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．

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已知椭圆C：

=它（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为

．
（它）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H，设m为椭圆C上一点，且满足

（O为坐标原点），当|

|＜

时，求实数t的取值范围？

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