题目
题型:不详难度:来源:
3 |
4 |
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)试判断以PB为直径的圆与圆x2+y2=4的位置关系,并说明理由;
(3)直线PM与椭圆的另一个交点为N,求△OPN面积的最大值(O为坐标原点).
答案
y |
x+2 |
y |
x-2 |
3 |
4 |
化简得
x2 |
4 |
y2 |
3 |
所以点P的轨迹方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(2)解法1:设点P(x0,y0),PB的中点为Q,则Q(
x0+1 |
2 |
y0 |
2 |
(x0-1)2+
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1 |
2 |
即以PB为直径的圆的圆心为Q(
x0+1 |
2 |
y0 |
2 |
1 |
4 |
又圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r2=2,|OQ|=
(
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1 |
4 |
故|OQ|=r2-r1,即两圆内切.------------------(7分)
解法2:由椭圆的定义得|PM|+|PN|=2a=4
圆心距|OO′|=
1 |
2 |
1 |
2 |
所以以PB为直径的圆与圆x2+y2=4内切.
(3)解法1:
若直线PN的斜率不存在,则PN:x=-1,解得P(-1,
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
若直线PN的斜率存在,设直线PN的方程为y=k(x+1)(k≠0),
由
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设P(x1,y1),N(x2,y2),△=64k4-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1),|PN|=
1+k2 |
1+k2 |
| ||
4k2+3 |
12(1+k2) |
4k2+3 |
原点O到直线PN的距离d=
|k| | ||
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所以S△PON=
1 |
2 |
6
| ||
4k2+3 |
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设4k2+3=t,则t>3,则有S△PON=6
-
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-
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因为0<
1 |
t |
1 |
3 |
3 |
2 |
综上所述,S△PON的最大值为
3 |
2 |
解法2:设直线PN的方程为x=my-1.
由
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设P(x1,y1),N(x2,y2),△=144(m2+1),|y1-y2|=
| ||
3m2+4 |
12
| ||
3m2+4 |
1 |
2 |
6
| ||
3m2+4 |
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设3m2+4=t,则t≥4,则有S△PON=6
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-
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因为0<
1 |
t |
1 |
4 |
1 |
t |
1 |
4 |
3 |
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核心考点
试题【已知点A(-2,0),B(2,0),M(-1,0),直线PA,PB相交于点P,且它们的斜率之积为-34.(1)求动点P的轨迹方程;(2)试判断以PB为直径的圆与】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
3 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆C的左焦点为F,右顶点为A,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M,N两点且
AM |
AN |