题目

题型：不详难度：来源：

点P（4，4），圆C：（x-1）²+y²=5与椭圆E：

x2

18

+

y2

2

=1有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．设Q为椭圆E上的一个动点，求

AP

•

AQ

的取值范围．

答案

∵A（3，1），P（4，4），
∴

AP

=(1，3)，
设Q（x，y），则

AQ

=(x-3，y-1)，
∴

AP

•

AQ

=(x-3)+3(y-1)=x+3y-6．
∵

x2

18

+

y2

2

=1，
即x²+（3y）²=18，而x²+（3y）²≥2|x|•|3y|，
∴-18≤6xy≤18．则（x+3y）²=x²+（3y）²+6xy=18+6xy的取值范围是[0，36]．
∴x+3y的取值范围是[-6，6]，
因此，

AP

•

AQ

的取值范围是[-12，0]．