题目

题型：不详难度：来源：

设双曲线C的焦点在y轴上，离心率为

2

，其一个顶点的坐标是（0，1）．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与该双曲线交于A、B两点，且A、B的中点为（2，3），求直线l的方程．

答案

（Ⅰ）∵双曲线的离心率为

2

，一个顶点坐标是（0，1），
∴

c

a

=

2

，a=1且焦点在y轴上，
∴c=

2

∵c²=a²+b²
∴b²=3．
∴双曲线的方程为 y²-

1

3

x²=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=6，
∵y²-

1

3

x²=1，
∴x₁²-3y₁²=-3，x₂²-3y₂²=-3，两式作差可得，
4（x₁-x₂）-18（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

2

9

，
∴直线的方程为y-3=

2

9

（x-2），即2x-9y-23=0．