题目
题型:不详难度:来源:
已知双曲线的右焦点为,过点的动直线与双曲线相交于两点,点的坐标是.
(I)证明,为常数;
(II)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程.
答案
(II)点的轨迹方程是
解析
(I)当与轴垂直时,可设点的坐标分别为,,
此时.
当不与轴垂直时,设直线的方程是.
代入,有.
则是上述方程的两个实根,所以,,
于是
.
综上所述,为常数.
(II)解法一:设,则,,
,,由得:
即
于是的中点坐标为.
当不与轴垂直时,,即.
又因为两点在双曲线上,所以,,两式相减得
,即.
将代入上式,化简得.
当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
所以点的轨迹方程是.
解法二:同解法一得……………………………………①
当不与轴垂直时,由(I) 有.…………………②
.………………………③
由①②③得.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
当时,,由④⑤得,,将其代入⑤有
.整理得.
当时,点的坐标为,满足上述方程.
当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
故点的轨迹方程是.
核心考点
试题【(本小题满分13分)已知双曲线的右焦点为,过点的动直线与双曲线相交于两点,点的坐标是.(I)证明,为常数;(II)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程.】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
设动点P到点A(-l,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2,
∠APB=2θ,且存在常数λ(0<λ<1=,使得d1d2 sin2θ=λ.
(1)证明:动点P的轨迹C为双曲线,并求出C的方程;
(2)过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两
点,试确定λ的范围,使·=0,其中点
O为坐标原点.
(Ⅰ)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式;
(Ⅱ)设曲线G上点D的横坐标为a+2,求证:直线CD的斜率为定值.
A. B. C. D.
已知定点,动点满足: .
(I)求动点的轨迹的方程;
(II)过点的直线与轨迹交于两点,试问在轴上是否存在定点,使得 为常数.若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
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