题目

题型：不详难度：来源：

已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为和，且满足·="t" (t≠0且t≠－1).
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当t＜0时，曲线C的两焦点为F₁，F₂，若曲线C上存在点Q使得∠F₁QF₂=120^O，
求t的取值范围.

答案

（1）+=1（x≠2）
（2）

解析

(1)设点P坐标为(x,y),依题意得=ty²=t(x²－4)+=1
轨迹C的方程为+=1（x≠2）.
(2)当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
设=r₁，= r₂, 则r₁+ r₂=2a=4.
在△F₁PF₂中，=2c=4,
∵∠F₁PF₂=120^°，由余弦定理，
得4c²=r+r－2r₁r₂= r+r+ r₁r₂
= (r₁+r₂)²－r₁r₂≥(r₁+r₂)²－()²=3a², ∴16（1+t）≥12, ∴t≥－.
所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F₁QF₂=120^°
当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，
设=r₁，= r₂，则r₁+r₂=2a=－4 t,
在△F₁PF₂中，=2c=4.
∵∠F₁PF₂=120^O，由余弦定理，
得4c²=r+r－2r₁r₂= r+r+ r₁r₂
= (r₁+r₂)²－r₁r₂≥(r₁+r₂)²－()²=3a², ∴16（－1－t）≥－12tt≤－4.
所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F₁QF₂=120^O
综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120^O的t的取值范围是
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