题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率. 直线（）与曲线交于不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值.

答案

（1）解：∵椭圆的离心率,
∴.                         …… 2分
解得.
∴ 椭圆的方程为．        …… 4分
（2）解法1：依题意，圆心为．
由 得.
∴ 圆的半径为．                 …… 6分
∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，
∴ ，即．                 
∴ 弦长．  …… 8分
∴的面积                …… 9分


.                        …… 12分
当且仅当，即时，等号成立.
∴ 的面积的最大值为．              …… 14分
解法2：依题意，圆心为．
由 得.
∴ 圆的半径为．                    …… 6分
∴ 圆的方程为．
∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，
∴ ，即．
在圆的方程中，令，得，
∴ 弦长．                           …… 8分
∴的面积                     …… 9分       


.                            ……12分
当且仅当，即时，等号成立.
∴ 的面积的最大值为．               …… 14分

解析

略