题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:;
(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.
(ⅰ)求证:点N在一条定直线上;
(ⅱ)设4≤λ≤9,求直线MN在x轴上截距的取值范围.
答案
(2)(ⅰ)点N(,-4),所以点N在定直线y=-4上. (ⅱ) [-,-]∪[,].
解析
试题分析:设A(x1,y1),B(x2,y2),
lAB:y=kx+4与x2=4y联立得x2-4kx-16=0,
Δ=(-4k)2-4(-16)=16k2+64>0,
x1+x2=4k,x1x2=-16, 2分
(1)证明:∵=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+4)(kx2+4)
=(1+k2)x1x2+4k(x1+x2)+16
=(1+k2)(-16)+4k(4k)+16=0
∴. 4分
(2)(ⅰ)证明:过点A的切线:
y=x1(x-x1)+y1=x1x-x12, ①
过点B的切线:y=x2x-x22, ② 6分
联立①②得点N(,-4),所以点N在定直线y=-4上. 8分
(ⅱ)∵=λ,
∴(x1,y1-4)=λ(-x2,4-y2),
联立x1=-λx2,x1+x2=4k,x1x2=-16,
可得k2==λ+-2,4≤λ≤9, 11分
∴≤k2≤.
直线MN:y=x+4在x轴上的截距为k.
∴直线MN在x轴上截距的取值范围是[-,-]∪[,]. 14分
点评:熟练掌握向量的坐标运算,灵活运用直线的特征是解决此类问题的关键,属常考题型
核心考点
试题【已知A,B两点在抛物线C:x2=4y上,点M(0,4)满足=λ.(1)求证:; (2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.(ⅰ)求证:点N在一条定直线上; 】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求双曲线的标准方程;
(2)判断L能否与双曲线交于,两点,且线段恰好以点为中点,若存在,求出直线L的方程,若不存,说明理由.
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A、B两点,且,求直线l的方程;
(Ⅱ)如图,若重心恰好在圆上,求m的取值范围.
(Ⅰ)判断曲线在的切线能否与曲线相切?并说明理由;
(Ⅱ)若求的最大值;
(Ⅲ)若,求证:.
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