题目
题型:不详难度:来源:
与椭圆交于、两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)当时,求证:、两点的横坐标的平方和为定值;
(Ⅲ)若直线与圆相切,椭圆上一点满足,求实数的取值范围.
答案
(Ⅱ),为定值.
(Ⅲ)的取值范围为 .
解析
试题分析:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为
由已知得:,解得
所以椭圆的标准方程为: 4分
(Ⅱ) 由,得,设,,
则,为定值. 9分
(Ⅲ)因为直线与圆相切
所以,
把代入并整理得:
设,则有
因为,, 所以,
又因为点在椭圆上, 所以,
. 因为 所以 ,
所以 ,所以 的取值范围为 . 16分
点评:中档题,涉及椭圆的题目,在近些年高考题中是屡见不鲜,往往涉及求标准方程,研究直线与椭圆的位置关系。求标准方程,主要考虑定义及a,b,c,e的关系,涉及直线于椭圆位置关系问题,往往应用韦达定理。涉及直线于圆的位置关系问题,往往利用“特征三角形”。本题在应用韦达定理的基础上,得到参数的表达式,应用二次函数性质使问题得解。
核心考点
试题【已知椭圆过点,且它的离心率.直线与椭圆交于、两点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)当时,求证:、两点的横坐标的平方和为定值;(Ⅲ)若直线与圆相切,椭圆上一点满足,】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.
(2)如图,已知“盾圆”的方程为.设“盾圆”上的任意一点到的距离为,到直线的距离为,求证:为定值;
(3)由抛物线弧:()与第(1)小题椭圆弧:()所合成的封闭曲线为“盾圆”.设过点的直线与“盾圆”交于两点,,且(),试用表示;并求的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
A.() | B.() |
C.() | D.() |
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