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题目
题型:不详难度:来源:
已知椭圆的离心率为

轴被抛物线截得的线段长等于的长半轴长.
(1)求的方程;
(2)设轴的交点为,过坐标原点的直线
相交于两点,直线分别与相交于.   
①证明:为定值;
②记的面积为,试把表示成的函数,并求的最大值.
答案
(1)
(2)利用直线与抛物线以及直线于椭圆联立方程组来求解向量的坐标,利用数量积为零来证明垂直。当,即时,
解析

试题分析:解:(1)由已知      ①           
中,令,得
由①②得,
                           
(2)由
,则             

  
 
(3)设上,
直线方程为:代入, 得
,同理

由(2)知,

时,为增函数,
,即时,
点评:解决的关键是利用抛物线的性质和椭圆的性质得到方程的求解,以及联立方程组来得到坐标,结合向量的数量积为零证明垂直,属于基础题。
核心考点
试题【已知椭圆的离心率为,轴被抛物线截得的线段长等于的长半轴长.(1)求的方程;(2)设与轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于两点,直线分别与相交于.   ①证明:为】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
椭圆的离心率是,则双曲线的渐近线方程是(  )
A.B.C.D.

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如图,点ABC在数轴上,点BC关于点A对称,若点AB对应的实数分别是和-1,则点C所对应的实数是
A.B.C.D.

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存在两条直线与双曲线相交于ABCD四点,若四边形ABCD是正方形,则双曲线的离心率的取值范围为(   )
A.B.C.D.

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如图,有一条长度为1的线段EF,其端点E、F分别在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动,当F沿正方形的四边滑动一周时,EF的中点M所形成的轨迹长度最接近于(  )
A.8B.11
C.12D.10

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已知是椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,点P在椭圆上,线段与y轴的交点M满足
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程;
(Ⅱ) 圆O是以为直径的圆,直线与圆相切,并与椭圆交于不同的两点,当,且满足时,求直线的方程。
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