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题目
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正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
答案
|AB|=2y1=4p.
解析
如图,设正△OAB的顶点A、B在抛物线上,且它们的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,又|OA|=|OB|,

∴x12+y12=x22+y22,即x12-x22+2px1-2px2=0.
∴(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.∵x1>1,x2>0,2p>0,∴x1=x2.由此可得|y1|=|y2|,即线段AB关于x轴对称.
由于AB垂直于x轴,且∠AOx=30°,∴=tan30°=.
而y12=2px1,∴y1=2p.于是|AB|=2y1=4p.
核心考点
试题【正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
边长为1的正△AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A、B的抛物线方程为(    )
A.y2=x           B.y2=-x              C.y2x           D.y2x
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给定抛物线CFC的焦点,过点F的直线C相交于AB两点.
(Ⅰ)设的斜率为1,求夹角的大小;
(Ⅱ)设,求轴上截距的变化范围.
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抛物线的焦点到准线的距离是( )
A.1B.2C.4D.8

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直线l与抛物线交于A,B两点;线段AB中点为,则直线l的方程为
A.B.
C.D.

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.抛物线上一点M(1,m) (m>0)到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数等于        .
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