题目

题型：不详难度：来源：

曲线C上任一点到定点(0，)的距离等于它到定直线的距离.
(1)求曲线C的方程；
(2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线分别交曲线C于A、B两点，且⊥，设M是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等.若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在，说明理由.

答案

（1）y=2x²；
（2）M轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离。所求的定点为，定直线方程为y=.

解析

试题分析：
思路分析：（1）曲线C上任一点到定点(0，)的距离等于它到定直线的距离.所以，由抛物线的定义，其方程为，而，所以，y=2x²；
（2）利用“参数法” 得到y=4x²+4x+，根据图象的平移变换得到结论：定点为，定直线方程为y=.
解：（1）因为，利用抛物线的定义，确定得到y=2x²；
（2）设：y-2=k(x-1)(k≠0) :y=2=
由得2x²-kx+k-2=0
同理得B点坐标为
∴
消去k得：y=4x²+4x+ ………9分
M轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离。将抛物线方程化为，此抛物线可看成是由抛物线左移个单位，上移个单位得到的，而抛物线的焦点为(0，)，准线为y=-.∴所求的定点为，定直线方程为y=.
点评：难题，利用“直接法”可确定得到抛物线方程。利用“参数法”求得抛物线方程，通过研究焦点、准线等，达到确定“存在性”的目的。