题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线D的方程;
(2)已知动直线l过点P(4,0),交抛物线D于A,B两点
(i)若直线l的斜率为1,求AB的长;
(ii)是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出m的方程,如果不存在,说明理由。
答案
(ii)存在直线m:x=3满足题意。
解析
(1)根据抛物线D的顶点是椭圆的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合,设出抛物线方程,即可求得抛物线D的方程;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).(i)直线l的方程代入抛物线方程,利用韦达定理可求|AB|;
(3) 设存在直线m:x=a满足题意,则圆心M(),过M作直线x=a的垂线,垂足为E,设直线m与圆M的一个交点为G,可得:|EG|2=|MG|2-|ME|2=(a-3)x1+4a-a2,由此可得结论.
解:(1)y2=4x(3分)
(i)A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=(4分)
(ii)设存在直线m:x=a,满足题意,则圆心M,过M作直线x=a的垂线,垂足为E,设直线m与圆M的一个交点为G,可得|EG|2=|MG|2-|ME|2=(a-3)x1+4a-a2
当a=3时,弦长恒为定值2 因此存在直线m:x=3满足题意(6分)
核心考点
试题【(13分)已知抛物线D的顶点是椭圆的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合。(1)求抛物线D的方程;(2)已知动直线l过点P(4,0),交抛物线D于A,B两点(i)若直】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,斜率为1的直线过抛物线的焦点,与抛物线交于两点A、B, 将直线按向量平移得到直线,为上的动点,为抛物线弧上的动点.
(Ⅰ) 若 ,求抛物线方程.
(Ⅱ)求的最大值.
(Ⅲ)求的最小值.
A. | B.2 | C. | D. |
(1)当O′点运动时,|MN|是否有变化?并证明你的结论;
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系,并说明理由.
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