题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分13分)已知抛物线上一动点,抛物线内一点,为焦点且的最小值为。
求抛物线方程以及使得|PA|+|PF|最小时的P点坐标;
过(1)中的P点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于C、D两点,直线CD是否过一定点? 若是,求出该定点坐标; 若不是,请说明理由。

答案

 (2,2). 过定点。

解析

试题分析：(1)过A,P分别做准线的垂线,设垂足为,则|PF|=|PH|,由图象可知,当|PA|+|PF|取最小值即是点到准线的距离,此时P点为AA₀与抛物线的交点.故,此时抛物线方程为, P点坐标为(2,2).
(2)设,,直线即
即, 由PA⊥PB有
得代入到中，有,
即即,故直线AB过定点。
点评：抛物线的定义在考试中经常考到，我们要熟练掌握。此题的第一问解答的关键是：利用抛物线的定义把“的最小值”抓化为“点A到准线的距离。”