题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线C：y²＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C与直线l₁：y＝－x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l₂与l₁垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．

答案

（1）y²＝8x.（2）24

解析

(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴8²＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y²＝8x.
(2)直线l₂与l₁垂直，
故可设l₂：x＝y＋m，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，且直线l₂与x轴的交点为M.
由得y²－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.
y₁＋y₂＝8，y₁y₂＝－8m，∴x₁x₂＝＝m².
由题意可知OA⊥OB，即x₁x₂＋y₁y₂＝m²－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，
∴l₂：x＝y＋8，M(8,0)，
故S_△FAB＝S_△FMB＋S_△FMA＝|FM|·|y₁－y₂|＝3＝24.