过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________．

答案

解析

设点A，B的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－

，把y＝x－

代入y²＝2px，得x²－3px＋

p²＝0，∴x₁＋x₂＝3p，∵|AB|＝x₁＋x₂＋p＝4p＝8，∴p＝2．

核心考点

试题【过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________．】；主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，等边三角形OAB的边长为8

，且其三个顶点均在抛物线E：x²＝2py(p>0)上．

(1)求抛物线E的方程；
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

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若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

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设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且

＝2

，

⊥

，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为(　　)

A．y²＝2x	B．y²＝4x
C．y²＝x	D．y²＝x

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已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x²＋y²＝9上任意两个不同的点，且满足

＝0，设P为弦AB的中点．

(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．

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设M、N为抛物线C：y＝x²上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l₁、l₂，与x轴分别交于A、B两点，且l₁与l₂相交于点P，若|AB|＝1．

(1)求点P的轨迹方程；
(2)求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．

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