题目

题型：广东模拟难度：来源：

已知抛物线C：y=ax²（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线C上一个动点，过点P且与抛物线C相切的直线记为L．
（1）求F的坐标；
（2）当点P在何处时，点F到直线L的距离最小？

答案

（1）抛物线方程为x²=

1

a

y，故焦点F的坐标为（0，

1

4a

）．
（2）设P（x₀，y₀）则y₀=ax₀²
∵y′=2ax，∴在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=2ax₀
∴切线L的方程是：y-y₀=k（x-x₀），即2ax₀x-y-ax₀²=0
∴焦点F到切线L的距离d=

|0- 1 4a - ax 20 |

(2ax0)2+(-1)2

=

1

4|a|

_0	+

1≥

1

4|a|

当且仅当x₀=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）
∴当P在（0，0）处时，焦点F到切线L的距离最小．