题目

题型：不详难度：来源：

(本题满分14分) 若F₁、F₂为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足（Ⅰ）求此双曲线的离心率；（Ⅱ）若此双曲线过点，求双曲线方程；（Ⅲ）设（Ⅱ）中双曲线的虚轴端点为B₁，B₂（B₁在y轴正半轴上），求B₂作直线AB与双曲线交于A、B两点，求时，直线AB的方程.

答案

（Ⅰ）  （Ⅱ）   （Ⅲ）

解析

解：（Ⅰ）由知四边形PF₁OM为平行四边形，又由
知为菱形，设半焦距为c，由，
 
（Ⅱ）双曲线方程为代入，
有即所求双曲线方程为 
（Ⅲ）依题意得B₁（0，3），B₂（0，－3）.设直线AB的方程为
则由∵双曲线的渐近线为时，AB与双曲线只有一个交点，即 

又
直线AB的方程为