题目

题型：不详难度：来源：

．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点分别为F₁、F₂，P是它左支上一点，P到左准线的距离为d，双曲线的一条渐近线为y＝x，问是否存在点P，使｜PF₁｜、｜PF₂｜成等比数列？若存在，求出P的坐标；若不存在说明理由．

答案

假设存在点P(x₀，y₀)满足题中条件．
∵双曲线的一条渐近线为y＝x，∴，∴b²＝3a²，c²－a²＝3a²， ＝2．即e＝2．
由＝2得，
｜PF₂｜＝2｜PF₁｜         ①
∵双曲线的两准线方程为x＝±，
∴｜PF₁｜＝｜2x₀＋2·｜＝｜2x₀＋a｜，｜PF₂｜＝｜2x₀－2·｜＝｜2x₀－a｜．
∵点P在双曲线的左支上，∴｜PF₁｜＝－(a＋ex₀)，｜PF₂｜＝a－ex₀，代入①得：a－ex₀＝－2(a＋ex₀)，∴x₀＝－a，代入＝1，得y₀＝±a．
∴存在点P使d、｜PF₁｜、｜PF₂｜成等比数列，点P的坐标是(－a，±a)．

解析

同答案