题目
题型:不详难度:来源:
已知双曲线的离心率为e,右顶点为A,左、右焦点分别为、,点E为右准线上的动点,的最大值为.
(1)若双曲线的左焦点为,一条渐近线的方程为,求双曲线的方程;
(2)求(用表示);
(3)如图,如果直线l与双曲线的交点为P、Q,与两条渐近线的交点为、,O为坐标原点,求证:
答案
解析
方法2 ∵双曲线的一条渐近线是,即,∴可设双曲线的方程为.∵焦点是,∴由得,∴,∴双曲线的方程为.
(2)设经过点A、的圆C与准线相切于点M,交于点N.
∵(当E与M重合时取“=”),
∴.∵,∴,又∵,
∴圆C的半径.由正弦定理得,
∴.
(3)证明:方法1 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,代入中得.设,线段PQ的中点为,则.同理,将代入渐近线方程中得
.设,线段的中点为,则
,∴,即线段PQ与线段有共同的中点.当直线l的斜率不存在时,即直线l垂直于x轴时,由对称性可知线段PQ与线段有共同的中点.∴,即.
方法2 当直线l的斜率不存在或为零时,即直线l垂直于x轴或垂直于y轴时,由对称性可知线段PQ与线段有共同的中点,∴.
当直线l的斜率存在且不为零时,可设l:.设PQ的中点为,的中点为,则由点差法可得,且,∴点G、在直线:,即上.又∵点G、在直线l:上,∴点G、同为直线与的交点.
故点G、重合,∴,即.
核心考点
试题【已知双曲线的离心率为e,右顶点为A,左、右焦点分别为、,点E为右准线上的动点,的最大值为.(1)若双曲线的左焦点为,一条渐近线的方程为,求双曲线的方程;(2)求】;主要考察你对双曲线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
A.充分不必要条件 | B.必要不充分条件 |
C.充分必要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
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