题目

题型：广西自治区月考题难度：来源：

已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=
（I）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O：x²+y²=2上动点P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．

答案

解：（Ⅰ）由题意，，
解得a=1，c=，
b²=c²﹣a²=2，
∴所求双曲C的方程．
（Ⅱ）P（m，n）（mn≠0）在x²+y²=2上，
圆在点P（m，n）处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），
化简得mx+ny=2．
以及m²+n²=2得
（3m²﹣4）x²﹣4mx+8﹣2m²=0，
∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜m²＜2，
3m²﹣4≠0，且△=16m²﹣4（3m²﹣4）（8﹣2m²）＞0，
设A、B两点的坐标分别（x₁，y₁），（x₂，y₂），
x₁+x₂=，x₁x₂=．
∵，
且
=x₁x₂+[4﹣2m（x₁+x₂）+m²x₁x₂]
=+[4﹣+]
=﹣=0．
∴∠AOB的大小为90⁰．