题目
题型:北京市月考题难度:来源:
(1)求C的圆心轨迹L的方程;
(2)已知点M(,),F(,0),且P为L上动点,求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标.
答案
由题意得:|CF1|+2=|CF2|﹣2或|CF2|+2=|CF1|﹣2,
∴||CF2|﹣|CF1||=4=2a<|F1F2|=2=2c,
可知圆心C的轨迹是以原点为中心,焦点在x轴上,且实轴为4,焦距为2的双曲线,
因此a=2,c=,则b2=c2﹣a2=1,所以轨迹L的方程为﹣y2=1;
(2)过点M,F的直线l的方程为y=(x﹣),
即y=﹣2(x﹣),代入﹣y2=1,
解得:x1=,x2=,
故直线l与双曲线L的交点为T1(,﹣),T2(,),
因此T1在线段MF外,T2在线段MF内,
故||MT1|﹣|FT1||=|MF|==2,
|MT2|﹣|FT2||<|MF|=2,
若点P不在MF上,则|MP|﹣|FP|<|MF|=2,
综上所述,|MP|﹣|FP|只在点T1处取得最大值2,
此时点P的坐标为(,﹣).
核心考点
试题【设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x﹣)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.(1)求C的圆心轨迹L的方程;(2)已知点M(,),F(,0),且P为L上动点,】;主要考察你对双曲线等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆的左,右两个顶点分别为A、B,曲线C是以A、B两点为顶点,焦距为的双曲线。设点P在第一象限且在曲线C上,直线AP与椭圆相交于另一点T。
(1)求曲线C的方程;
(2)设P、T两点的横坐标分别为x1、x2,求证x1·x2为一定值;
(3)设与(其中为坐标原点)的面积分别为与,且,求的取值范围。