设双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：山东难度：来源：

设双曲线C：

-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且

．求a的值．

答案

（I）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

-y2=1

x+y=1.

有两个不同的实数解．消去y并整理得
（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①
所以

1-a2≠0.

4a4+8a2(1-a2)＞0.

解得0＜a＜

且a≠1．
双曲线的离心率
e=

1+a2

．
∵0＜a＜

且a≠1，
∴e＞

且e≠

即离心率e的取值范围为(

，

)∪(

，+∞)．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1）
∵

，
∴(x1，y1-1)=

(x2，y2-1)．
由此得x1=

x2．
由于x₁和x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
所以

x2=-

2a2

1-a2

．
x₁•x₂=

2a2

1-a2

．
消去x₂，得-

2a2

1-a2

289

由a＞0，所以a=

．

核心考点

试题【设双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且】；主要考察你对双曲线等知识点的理解。[详细]

举一反三

椭圆焦点在x轴，离心率为

，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．

题型：不详难度：| 查看答案

双曲线

-y²=1（n＞1）的两个焦点为F₁，F₂，P在双曲线上，且满足|PF₁|+|PF₂|=2

n+2

，则△PF₁F₂的面积为______．

题型：安徽模拟难度：| 查看答案

A、B、C是我军三个炮兵阵地，A在B的正东方向相距6千米，C在B的北30°西方向，相距4千米，P为敌炮阵地．某时刻，A发现敌炮阵地的某信号，由于B、C比A距P更远，因此，4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米）．若从A炮击敌阵地P，求炮击的方位角．

题型：不详难度：| 查看答案

设双曲线

（a＞0，b＞0）的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q，R两点，其中O为坐标原点，则|OP|²与|OQ|•|OR|的大小关系为（　　）

题型：黄冈模拟难度：| 查看答案

题型：长宁区二模难度：| 查看答案

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热门考点

A．|OP|²＜|OQ|•|OR|

B．|OP|²＞|OQ|•|OR|

C．|OP|²=|OQ|•|OR|

D．不确定

已知双曲线C：

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F₂（2，0），且b=

a．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过焦点F₂的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x-1）²-y²=3上．
（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由．