题目

题型：0103 模拟题难度：来源：

已知抛物线C₁：y²=4x的焦点与椭圆C₂：的右焦点F₂重合，F₁是椭圆的左焦点；
（Ⅰ）在△ABC中，若A(-4，0)，B(0，-3)，点C在抛物线y²=4x上运动，求△ABC重心G的轨迹方程；
（Ⅱ）若P是抛物线C₁与椭圆C₂的一个公共点，且∠PF₁F₂=，∠PF₂F₁=，求cos·cos的值及△PF₁F₂的面积。

答案

解：（Ⅰ）设点C（x′，y′），重心G（x，y），
则，
整理，得，
将(*)式代入y²=4x中，得(y+1)²=，
∴重心G的轨迹方程为。
（Ⅱ）∵椭圆与抛物线有共同的焦点，由y²=4x，得F₂(1，0)，
∴b²=8，椭圆方程为，
设P(x₁，y₁)，由得，
∴x₁=，x₂=-6（舍），
∵x=-1是y²=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F₁。
设点P到抛物线y²=4x的准线的距离为PN，则|PF²|=|PN|，
又|PN|=x₁+1=，
∴，
过点P作PP₁⊥x轴，垂足为P₁，
在Rt△PP₁F₁中，cosα=，
在Rt△PP₁F₂中，cos(л-β)=，cosβ=，∴cosαcosβ=。
∵x₁=，
∴|PP₁|=，
∴。