题目
题型:天津高考真题难度:来源:
已知椭圆的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),过点的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|,
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)求直线AB的斜率;
(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上,求的值。
答案
从而,整理,得,
故离心率为。
(Ⅱ)由(Ⅰ),得b2=a2-c2=2c2,
所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2,
设直线AB的方程为,即y=k(x-3c),
由已知设A(x1,y1),B(x2,y2),
则它们的坐标满足方程组,
消去y并整理,得(2+3k2)x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0,
依题意,,得,
而,①
,②
由题设知,点B为线段AE的中点,所以x1+3c=2x2, ③
联立①③解得,
将x1,x2代入②中,解得。
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知x1=0,,
当时,得,由已知得,
线段AF1的垂直平分线l的方程为,
直线l与x轴的交点是△AF1C的外接圆的圆心.
因此外接圆的方程为,
直线F2B的方程为,
于是点H(m,n)的坐标满足方程组,
由m≠0,解得,
故。
当时,同理可得。
核心考点
试题【已知椭圆的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),过点的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|, (Ⅰ)求椭圆】;主要考察你对椭圆的几何性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅱ)设点Q(3,6),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程。
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