题目

题型：同步题难度：来源：

已知椭圆C：（a>b>0）的长轴长为4。
（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切，求椭圆C的焦点坐标；
（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为k_PM、k_PN，当k_PM·k_PN=-时，求椭圆的方程。

答案

解：（1）由得
又2a=4，
∴a=2，a²=4，b²=2，c²=a²-b²=2，
∴两个焦点坐标为（，0），（-，0） 。
（2）由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，不妨设：M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），P（x，y），
由于M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有
两式相减得：
由题意可知直线PM、PN的斜率存在
则

则
由a=2得b=1，
故所求椭圆的方程为。