题目

题型：同步题难度：来源：

有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m，短轴长60 m，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在？这时矩形的周长是多少？

答案

解：分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上．
因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴都对称，
已知椭圆的长轴长2a=100 m，短轴长2b=60 m，
则椭圆的方程为
设顶点A的坐标为(x₀，y₀)，x₀>0，y₀>0，
则，得
根据矩形ABCD的对称性，可知它的面积S=4x₀y₀．
由于
∴当时，取得最大值，此时S也取得最大值．
这时
矩形ABCD的周长为4(x₀+y₀)=(m).
因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距m（约35. 36m）的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点；这个矩形区域的周长为m(约226.27 m).