题目

题型：江西省期末题难度：来源：

若椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点C（﹣1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．

答案

解：（1）由题意知，c+ =3（c﹣ ），
∴b=c，
∴a²=2b²，
∴e= = = ．
（2）设直线l：x=ky﹣x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵ ，
∴（﹣1﹣x₁，﹣y₁）=2（x₂+1，y₂），即2y₂+y₁=0，①
由（1）知，a²=2b²，∴椭圆方程为x²+2y²=2b²，
由 ，消去x，得（k²+2）y²﹣2ky+1﹣2b²=0，
∴ ，…②  
，…③
由①②知， ， ，
∵ = ，
∴S=3 =3≤3 = ，
当且仅当|k|²=2，即k= 时取等号，
此时直线的方程为x= 或x= ．
又当|k|²=2时， =﹣ =﹣1，
∴由 ，得b²= ，
∴椭圆方程为 ．