题目

题型：不详难度：来源：

如果椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上存在点P，使P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

A．（0，1）

B．（0， 1 2 ]

C．[ 5 5 ， 1 2 ]

D．[ 1 5 ， 1 2 ]

答案

设P（x，y），∵P到原点的距离等于该椭圆的焦距，∴x²+y²=4c²①
∵P在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上，∴

x2

a2

+

y2

b2

=1②
联立①②得x2=

1- 4c2 b2

1 a2 - 1 b2

，∵0≤x²≤a²
∴0≤ 

1- 4c2 b2

1 a2 - 1 b2

≤a2
∴0≤ 

a2(5c2-a2)

c2

≤a2
∴

1

5

≤e2≤

1

4

∴e∈[

5

5

，

1

2

]
故选C