题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于两点,证明点到直线的距离为定值,并求弦长度的最小值.
答案
解析
(1)运用椭圆几何性质和点到直线的距离公式可知,a,b,c的关系式得到椭圆的方程。
(2)设出直线与椭圆联立方程组,然后借助于韦达定理和点到直线的距离,表示,然后利用,得到弦AB的长度的最小值是
解:(Ⅰ)由, ………2分
由右焦点到直线的距离得:………5分
所以椭圆C的方程为……..6分
(Ⅱ)设当直线AB的斜率存在时,设为,与椭圆
联立消去得:
由△>0得, ………8分
,,即
整理得 ………10分
所以O到直线AB的距离 ………12
当直线AB的斜率不存在时易得,即命题得证;………13分
又
由,
即弦AB的长度的最小值是………15分
核心考点
试题【(本题满分15分)设椭圆的离心率右焦点到直线的距离,为坐标原点。(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于两点,证明点到直线的距离为定值】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A、1 B、 C、 D、2
A.0个 | B.1个 | C.2个 | D.4个 |
已知直线与椭圆相交于A、B两点.
(Ⅰ)若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段AB的长;
(Ⅱ)若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率 时,求椭圆的长轴长的最大值.
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