题目

题型：陕西省模拟题难度：来源：

已知椭圆C₁：的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切。    
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；  
（Ⅱ）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；   
 （Ⅲ）过椭圆C₁的左顶点A做直线m，与圆O相交于两点R、S，若△ORS是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）由，得，  
由直线l：x-y+2=0与圆相切得，
所以，
所以椭圆的方程是。   
（Ⅱ）由条件，知|MF₂|=|MP|，
即动点M到定点F₂的距离等于它到直线l₁：x=-1的距离，
由抛物线的定义得点M的轨迹C₂的方程是。   
（Ⅲ）由（Ⅰ），得圆O的方程是，
直线m的方程是，
设，
由得，    
则，  
由得，     ①
因为△ORS是钝角三角形，
所以，
即
，
所以，                 ②
由A、R、S三点不共线，知k≠0，                 ③
由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是。