题目

题型：山东省模拟题难度：来源：

已知点P为圆 x²+y²=4上的动点，且P不在x 轴上，PD⊥x 轴，垂足为D，线段PD中点Q的轨迹为曲线C，过定点M（t，0）（0< t <2）任作一条与y轴不垂直的直线l ，它与曲线C交于A、B两点。
（1）求曲线C的方程；
（2）试证明：在x轴上存在定点N，使得∠ANB总能被x轴平分

答案

解：（1）设Q（x，y）为曲线C上的任意一点，则点P（x，2y）在圆x²+y²=4上，
∴x²+4y²=4，曲线C的方程为．  
（2）设点N的坐标为（n，0），直线l的方程为x=sy+t， 
 代入曲线C的方程，可得
∵0< t < 2，∴
∴直线l与曲线C总有两个公共点．
设点A，B的坐标分别（x₁，y₁），（x₂，y₂），则
 
要使∠ANB被x轴平分，只要
即 ，y₁（x₂-n）+y₂（x₁-n）=0， 
也就是y₁（sy₂+t-n）+y₂（sy₁+t-n）=0，2sy₁y₂+（t-n）（y₁+y₂）=0， 
即 ，
即只要（nt-4）s=0　 
当 时，（＊）对任意的s都成立，从而∠ANB总能被x轴平分．
所以在x轴上存在定点，使得∠ANB总能被x轴平分