题目

题型：福建省高考真题难度：来源：

如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点。
（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（2）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。若直线l绕点F任意转动，恒有|OA|²+|OB|²＜|AB|²，求a的取值范围。

答案

解：（1）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形
所以
即1=
解得

因此，椭圆方程为；（2）设
（i）当直线AB与x轴重合时

因此，恒有。
（ii）当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为代入
整理得
所以
因为
所以∠AOB恒为钝角
即恒成立


又
所以对m∈R恒成立，
即对m∈R成立
当m∈R时，最小值为0
所以

因为a>0，b>0
所以
即
解得a＞或a＜（舍去）
即a＞
综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）。