题目
题型:北京期末题难度:来源:
(1)若椭圆C1过点(,0)和(0,2),求椭圆C1的标准方程;
(2)试判断命题“若椭圆C2:x2+y2=1(在椭圆C1内)任意一条切线都与椭圆C1交于两点,且这两点总与坐标原点构成直角三角形,则满足条件的椭圆C1恒过定点”的真假.若命题为真命题,求出定点坐标,若为假命题,说明理由.
答案
所以椭圆C1的标准方程为
(2)命题“若椭圆C2:x2+y2=1(在椭圆C1内)任意一条切线都与椭圆C1交于两点,
且这两点总与坐标原点构成直角三角形,则满足条件的椭圆C1恒过定点”的真命题.
设椭圆C1:mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),设P(s,t)为圆C2上任意一点,
则过点P的圆C2的切线方程为sx+ty=1
因为椭圆C2:x2+y2=1(在椭圆C1内)任意一条切线都与椭圆C1交于两点A、B,不妨设t≠0
由得(mt2+ns2)x2﹣2nsx+n﹣t2=0
∵OA⊥OB,根据根与系数的关系建立等式,
∴m+n﹣1=0
所以满足椭圆的方程mx2+(1﹣m)y2=1(0<m<1且m≠)
即m(x2﹣y2)+y2﹣1=0对任意0<m<1且m≠均成立
所以即x2=y2=1
所以,满足条件的椭圆C1恒过定点(1,1),(﹣1,1),(1,﹣1),(﹣1,﹣1)
核心考点
试题【已知椭圆C1的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上.(1)若椭圆C1过点(,0)和(0,2),求椭圆C1的标准方程;(2)试判断命题“若椭圆C2:x2+y2=1(在椭】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长度.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程;
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求△F1PQ的面积.
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