题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点为B（0，4），离心率e=

3

5

．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），在椭圆上求一点Q使△OPQ的面积最大．

答案

（Ⅰ）由题意可知：椭圆C的焦点在x轴上，b=4，可设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

42

=1，
   又离心率e=

c

a

=

3

5

，及a²=4²+c²，解得

a=5 c=3

，
∴椭圆的方程为

x2

25

+

y2

16

=1．
（Ⅱ）∵kOP=

2

2

=1，∴可设与直线OP平行且与椭圆相切的直线方程为y=x+t．
联立

y=x+t x2 25 + y2 16 =1

，消去y得到关于x的方程41x²+50tx+25t²-400=0，（*）
∴△=0，即2500t²-4×41×（25t²-400）=0，化为  t²=41，解得t=±

41

．
∴切线方程为y=x±

41

．
把t=±

41

代入（*）解得x=±

25 41

41

，代入y=x+t求得Q(

25 41

41

，-

16 41

41

)，或(-

25 41

41

，

16 41

41

)．
上面这两个点的坐标都满足是得△OPQ的面积最大．