已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为33，右焦点F也是抛物线y2=4x的焦点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l与C相交于A、B两点，若AF - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，右焦点F也是抛物线y²=4x的焦点．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l与C相交于A、B两点，若

，求直线l的方程．

答案

（1）根据F（1，0），即c=1，
据

得a=

，
故b=

，
所以所求的椭圆方程是

=1．
（2）当直线l的斜率为0时，检验知

≠2

．
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
根据

得（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂）得y₁=-2y₂．
设直线l：x=my+1，代入椭圆方程得（2m²+3）y²+4my-4=0，
故y1+y2=-

2m2+3

，y1•y2=-

2m2+3

，
得y1= -

2m2+3

，y2=

2m2+3

，
代入y1•y2=-

2m2+3

得
( -

2m2+3

)(

2m2+3

)= -

2m2+3

，即

8m2

2m2+3

=1，
解得m=±

，
故直线l的方程是x=±

y+1．

核心考点

试题【已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为33，右焦点F也是抛物线y2=4x的焦点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l与C相交于A、B两点，若AF】；主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]

举一反三

若点（3，2）是椭圆

（a＞b＞0）上的一点，则下列说法错误的是（　　）

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A．点（-3，2）在该椭圆上

B．点（3，-2）在该椭圆上

C．点（-3，-2）在该椭圆上

D．点（-3，-2）不在该椭圆上

设椭圆

=1（a＞b＞0）的离心率为

，短轴一个端点到右焦点的距离为2．
（1）求椭圆的方程．
（2）若P是该椭圆上的一个动点，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，其左、右焦点分别为F₁，F₂，点P（x₀，y₀）是坐标平面内一点，且|OP|=

，

PF1

•

PF2

（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S(0，-

)且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

已知离心率为

的椭圆C₁的顶点A₁，A₂恰好是双曲线

-y2=1的左右焦点，点P是椭圆上不同于A₁，A₂的任意一点，设直线PA₁，PA₂的斜率分别为k₁，k₂．
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）试判断k₁•k₂的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；
（Ⅲ）当k1=

时，圆C₂：x²+y²-2mx=0被直线PA₂截得弦长为

，求实数m的值．
设计意图：考察直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考察学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改编自人教社选修2-1教材P39例3．

椭圆

（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，短轴两端点B₁、B₂，已知F₁、F₂、B₁、B₂四点共圆，且点（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5

，则此椭圆的方程是（　　）

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