题目

题型：安徽难度：来源：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

3

，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与y=x+2相切．
（1）求a与b；
（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F₁和F₂，直线l过F₂且与x轴垂直，动直线l₂与y轴垂直，l₂交l₁与点P．求PF₁线段垂直平分线与l₂的交点M的轨迹方程，并说明曲线类型．

答案

（1）e=

3

3

，∴

b2

a2

=

2

3

，
又b=

2

1+1

=

2

，∴a=

3

，b=

2

．
（2）由（1）知F₁，F₂分别为（-1，0），（1，0），
由题意可设P（1，t），（t≠0）那么线段PF₁中点为N（0，

t

2

），
设M（x，y）是所求轨迹上的任意点，由

MN

=（-x，

t

2

-y），

PF1

=（-2，-t）
则

MN • y=t

PF1

=2x+t(y-

t

2

)=0，
消t得y²=-4x（x≠0）其轨迹为抛物线除原点的部分．