题目

题型：不详难度：来源：

【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵M^-1以及椭圆

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．
21-2．（选修4-4：参数方程）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，

π

2

），若直线l过点P，且倾斜角为 

π

3

，圆C以M为圆心、4为半径．
（1）求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；
（2）试判定直线l和圆C的位置关系．

答案

21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
（1）∵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换
∴矩阵M=

.

2 0 0 3

.

，
∴它的特征值为2和3，
∴对应的特征向量为

.

1 0

.

及

.

0 1

.

；
（2）M^-1=

.

1 2 0 0 1 3

.

，
椭圆

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程为x²+y²=1．
21-2．（选修4-4：参数方程）
（1）∵P的直角坐标为（1，-5），
直线l过点P，且倾斜角为 

π

3

，
直线l的参数方程为

x=1+ 1 2 t y=-5+ 3 2 t

，
又∵圆C以M为圆心、4为半径
圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．
（2）因为M（4，

π

2

）对应的直角坐标为（0，4），
直线l的普通方程为

3

x-y-5-

3

=0，
∴圆心到直线l的距离d=

|0-4-5- 3 |

3+1

=

9+ 3

2

＞5，
所以直线l与圆C相离．