题目

题型：广东省高考真题难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆 与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，
(Ⅰ)求圆C的方程；
(Ⅱ)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：(Ⅰ)设圆C的圆心为A(p，q)，则圆C的方程为(x-p)²+(y-q)²=8，
∵直线y=x与圆C相切于坐标原点O，
∴O在圆C上，且直线OA垂直于直线y=x，
于是有或，
由于点A(p，q)在第二象限，故p＜0，
所以圆C的方程为(x+2)²+(y-2)²=8．
(Ⅱ)∵椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10，
∴2a=10，即a=5，故椭圆右焦点为F(4，0)，
若圆C上存在异于原点的点Q(x₀，y₀)到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，则有|QF|=|OF|，
于是（x₀-4）²+y₀²=4²，且x₀²+y₀²≠0，(1)
由于Q(x₀，y₀)在圆上，
故有(x₀+2)²+(y₀-2)²=8，(2)
解(1)(2)得，
故圆C上存在满足条件的点。