题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分10分）
选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作
CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M.
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求证：AM·MB=DF·DA.

答案

略

解析

选修4—1：几何证明选讲
解：（I）连结OC，∴∠OAC=∠OCA，又∵CA是∠BAF的角平分线，
∴∠OAC=∠FAC，
   ∴∠FAC=∠ACO，∴OC∥AD.………………3分
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线.…………5分
（Ⅱ）连结BC，在Rt△ACB中，
CM⊥AB，∴CM²=AM·MB.
   又∵DC是⊙O的切线，∴DC²=DF·DA.
易知△AMC≌△ADC，∴DC=CM，
∴AM·MB=DF·DA…………10分